¿Qué es la razón aurea?

Antes de empezar, pido disculpas por la tardanza en postear pero por motivos de la universidad he estado KO durante unos días...
Ahora sí, entremos en la razón aurea, también conocido como número φ (phi)o número áureo, que es un número irracional y tiene como valor aproximado 1,61803...
Además, otra propiedad que le hace único es que no hay otro número real (positivo) que mantenga la siguiente propiedad: φ²= φ+1

Aunque por lo que es verdaderamente conocido, es por ser una relación o proporción entre segmentos de una recta. Suele atribuirse a Euclides que fue quien hizo un estudio más exhaustivo del mismo.

Euclides (300-265 a.C.),geómetra y matemático griego.

Está incluso considerado un número místico, es el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli quien le otorga propiedades divinas por varias razones, como serían la comparación del valor único de dicha razón con la unicidad de Dios o el hecho de que esté definido por tres segmentos, lo asocia con la Santísima Trinidad.

Nosotros vamos a fijarnos únicamente en esa cualidad de relación entre segmentos:

En esta imagen "a" es el número áureo.

A ver, agárrense que vienen curvas, porque esto es un poco lioso de primeras; en la imagen de encima, se puede ver un segmento AB dividido en dos segmentos “a” y “b”, en este caso “a” es φ pero si nos llevaramos “b” y lo colocaramos encima de “a”, tendríamos que “b” sería φ como se ve en la siguiente modificación de la imagen anterior:

Ahora, por el contrario, "b" sería φ.

Ahora vamos a construir de forma sencilla este φ, simplemente necesitaríamos regla, compás y lápiz. Sería de la siguiente forma:
1) Dibujar un segmento AB
2) Lanzar una perpendicular desde B con longitud igual a la mitad del segmento AB
3) Construir una circunferencia de radio AB/2
4) Unir el centro O con el punto A, el segmento que queda fuera de la circunferencia tiene el valor del número φ.
A continuación, un dibujo de los pasos anteriores (discúlpese la calidad, pero el Paint Brush de Windows no da para mucho más, bueno eso.. y que yo soy un poco malo para estas cosas).

Además, φ, está relacionado con la escala de Fibonacci: Si se llama al enésimo número de Fibonacci como F_n, y al siguiente como F_{n + 1}, tenemos que, a medida que "n" aumenta, esta razón oscila, y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea (1,61803...).

Para terminar, un poquito de curiosidades, porque estamos ante un número que suele aparecer en los lugares más variopintos y donde se presupone que no hay nada de matemáticas de por medio. Una lista de los mismos podría ser esta:

• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas.
• Ciertas relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh.
• La distribución de las hojas en un tallo.
• En el cuadro "Leda Atómica" del pintor Salvador Dalí (mi favorito, sin duda).
• La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias .
• En los violines, la ubicación de los oidos (los agujeros en forma de simbolo de integración) se relaciona con el número áureo.
• Las espirales formadas por las borrascas se aproximan a una relación con la escala de Fibonacci.
• Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio de Da Vinci. 
• En la concha del nautilus (espiral logarítmica)
• La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.
• El halcón se aproxima a su presa según una espiral logarítmica.

Las imágenes vienen de aquí y aquí(y la siguiente es una modificación de esta). La información está sacada de la Wikipedia, en su entrada sobre la razón aurea, también de las que habla sobre espirales logarítmicas, y también ha ayudado la web de Gaussianos y su entrada. Para acabar, la construcción del segmento aureo a partir del segmento AB la he sacado de una clase de Expresión Gráfica en la Ingenieria de la ETSI Montes.