¿Qué es el reductio ad absurdum?

En castellano reducción al absurdo, es un método de demostración matemática en la cual a partir de un conjunto “µ” de premisas, que constituyen las hipótesis, se quiere probar la validez de cierta conclusión T (si estamos tratando un teorema se suele denominar tesis).

 

Esta demostración se realizaría de la siguiente forma:

Se añade como una nueva premisa la negación de T, esto se traduce en que se tiene un nuevo conjunto de premisas, µ’, a partir del cual se aplican inferencias lógicas hasta llegar a un resultado absurdo (normalmente una contradicción). Con esto quedaría demostrado que µ’ no es consistente y por ello µ si lo es.

Veamos un ejemplo sencillísimo, donde te dicen:

"Demostrar que si todos los número pares son divisibles entre dos, dando un número entero (ℤ) y los impares no, entonces, 12 es un número par"

Empleando la reductio ad absurdum aceptamos la premisa de que el número 12 es un número impar, al realizar la división T’=12/2 obtenemos que T’=6, esto quiere decir que T’=ℤ, lo que entra en contradicción con la premisa válida de que un número impar dividido entre 2 no da un número entero (T_{2· n-1} ≠ℤ). Esto quiere decir que la conclusión que queríamos definir, es válida.

El reductio ad absurdum es también utilizado en filosofía, siendo su origen la antigua Grecia.

Ahora compliquemos algo más la cosa y hagamos un ejemplo más abstracto:

"Demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional"

Vamos con ello, aplicando la reductio ad absurdum aceptamos que la raíz cuadrada de 2 da un número racional, es decir: √2=p/q

Aquí, sabemos que "p,q=ℤ ”, que “p≠q”, que “q≠0”, que “p,q>0” y que “p” y “q” no comparten factor común alguno (“p,q son primos”); sabiendo esto y mediante una serie de inferencias lógicas:

Elevamos al cuadrado la ecuación √2=p/q:

2=p²/q²
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por q²:
2q²=p²
Ahora tenemos que 2q² es un número par (2n)  y por tanto p² también lo es. Eso obliga a que p sea par.  Por tanto p=2n y transformándolo esto quedaría del siguiente modo:
2q²=(2n)² que lleva a 2q²= 4n²  que lleva a q²= 2n²
Del mismo modo que anteriormente 2q² era par, ahora 2n² es par y por ello q² y q también lo son.

Como p y q son pares, tienen mínimo un factor común (el 2)  y como esto entra en contradicción con lo definido anteriormente (“p,q son primos”)  y el proceso que se ha seguido es correcto, podemos decir que la premisa inicial de que √2 es racional, es falsa. Obligando estrictamente a que √2 sea irracional. Y esto “quod erat demonstrandum” (en castellano, “queda demostrado”).

La información la he obtenido de aquí, de aquí y de las clases de Álgebra en la ETSI Montes. La imagen es de aquí.

¿Qué es la identidad de Euler?

La Identidad de Euler está considerada como la más bella de las matemáticas por la relación que hace entre varios de los elementos más importantes de las distintas ramas de la matemática. La fórmula viene a decir que:

Antes de estudiar sus componentes definamos que campos de las matemáticas relaciona esta igualdad:
o   Análisis numérico: rama de las matemáticas que   se ocupa de describir y crear algoritmos para la resolución de problemas.
o   Álgebra: campo matemático que estudia lo relativo a la resolución de ecuaciones polinómicas de la forma P(x)=0)
o   Geometría: es la parte de las matemáticas que se dedica al estudio de las propiedades y medidas de las figuras en el plano o el espacio.
o   Aritmética: es la ciencia matemática que estudia las propiedades de los números  y sus relaciones.

Ahora sí, vamos a hacer un desglose de cada una de las partes de la identidad:

• e:
  Conocido como número de Euler o constante de Napier, es esencial en el análisis numérico y sus primeras cifras son: 2,7182818...

• i:
  Conocida como la unidad imaginaria, es un número de gran importancia en álgebra y se estudia en la parte de números complejo.
  La principal propiedad de estos números es que tienen como cuadrado a un número negativo: i = √-1 à i² = -1

• π:
  es el numero madre en geometría y corresponde a la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, cuyos primeros dígitos son: 3,141592...

• 0 y 1:
  son la base de la aritmética, ya que son los elementos neutros de la adición y la multiplicación respectivamente.

Gracias a esta identidad se puede hallar el valor del número π mediante:

Leonhard Euler (1707-1783), matemático y físico suizo.

Por otra parte hay que decir, que esta identidad no es nada más que una transformación de la, también conocida, Fórmula de Euler:

Mediante un simple procedimiento se puede demostrar dicha transformación:

Se hace x = π y se resuelve cos π = -1 y sin π = 0, pasando el -1 a la izquierda, queda finalmente dicha identidad.

Es obligatorio que las funciones trigonométricas de sin y el cos estén expresadas en radianes.


Las fotos están cogidas de aquí, aquí, aquí y también aqui... ¡ah!, y la última es una modificación personal de algunas imagenes de esta web. La información está sacada de este post de "Gaussianos" y de la todopoderosa Wikipedia.