En castellano reducción al absurdo, es un método de demostración matemática en la cual a partir de un conjunto “µ” de premisas, que constituyen las hipótesis, se quiere probar la validez de cierta conclusión T (si estamos tratando un teorema se suele denominar tesis).
Esta demostración se realizaría de la siguiente forma:
Se añade como una nueva premisa la negación de T, esto se traduce en que se tiene un nuevo conjunto de premisas, µ’, a partir del cual se aplican inferencias lógicas hasta llegar a un resultado absurdo (normalmente una contradicción). Con esto quedaría demostrado que µ’ no es consistente y por ello µ si lo es.
Veamos un ejemplo sencillísimo, donde te dicen:
"Demostrar que si todos los número pares son divisibles entre dos, dando un número entero (ℤ) y los impares no, entonces, 12 es un número par"
Empleando la reductio ad absurdum aceptamos la premisa de que el número 12 es un número impar, al realizar la división T’=12/2 obtenemos que T’=6, esto quiere decir que T’=ℤ, lo que entra en contradicción con la premisa válida de que un número impar dividido entre 2 no da un número entero (T2· n-1 ≠ℤ). Esto quiere decir que la conclusión que queríamos definir, es válida.
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| El reductio ad absurdum es también utilizado en filosofía, siendo su origen la antigua Grecia. |
Ahora compliquemos algo más la cosa y hagamos un ejemplo más abstracto:
"Demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional"
Vamos con ello, aplicando la reductio ad absurdum aceptamos que la raíz cuadrada de 2 da un número racional, es decir: √2=p/q
Aquí, sabemos que "p,q=ℤ ”, que “p≠q”, que “q≠0”, que “p,q>0” y que “p” y “q” no comparten factor común alguno (“p,q son primos”); sabiendo esto y mediante una serie de inferencias lógicas:
Elevamos al cuadrado la ecuación √2=p/q:
2=p2/q2
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por q2:
2q2=p2
Ahora tenemos que 2q2 es un número par (2n) y por tanto p2 también lo es. Eso obliga a que p sea par. Por tanto p=2n y transformándolo esto quedaría del siguiente modo:
2q2=(2n)2 que lleva a 2q2= 4n2 que lleva a q2= 2n2
Del mismo modo que anteriormente 2q2 era par, ahora 2n2 es par y por ello q2 y q también lo son.
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por q2:
2q2=p2
Ahora tenemos que 2q2 es un número par (2n) y por tanto p2 también lo es. Eso obliga a que p sea par. Por tanto p=2n y transformándolo esto quedaría del siguiente modo:
2q2=(2n)2 que lleva a 2q2= 4n2 que lleva a q2= 2n2
Del mismo modo que anteriormente 2q2 era par, ahora 2n2 es par y por ello q2 y q también lo son.
Como p y q son pares, tienen mínimo un factor común (el 2) y como esto entra en contradicción con lo definido anteriormente (“p,q son primos”) y el proceso que se ha seguido es correcto, podemos decir que la premisa inicial de que √2 es racional, es falsa. Obligando estrictamente a que √2 sea irracional. Y esto “quod erat demonstrandum” (en castellano, “queda demostrado”).
La información la he obtenido de aquí, de aquí y de las clases de Álgebra en la ETSI Montes. La imagen es de aquí.
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