¿Qué es la identidad de Euler?

La Identidad de Euler está considerada como la más bella de las matemáticas por la relación que hace entre varios de los elementos más importantes de las distintas ramas de la matemática. La fórmula viene a decir que:

Antes de estudiar sus componentes definamos que campos de las matemáticas relaciona esta igualdad:
o   Análisis numérico: rama de las matemáticas que   se ocupa de describir y crear algoritmos para la resolución de problemas.
o   Álgebra: campo matemático que estudia lo relativo a la resolución de ecuaciones polinómicas de la forma P(x)=0)
o   Geometría: es la parte de las matemáticas que se dedica al estudio de las propiedades y medidas de las figuras en el plano o el espacio.
o   Aritmética: es la ciencia matemática que estudia las propiedades de los números  y sus relaciones.

Ahora sí, vamos a hacer un desglose de cada una de las partes de la identidad:

• e:
  Conocido como número de Euler o constante de Napier, es esencial en el análisis numérico y sus primeras cifras son: 2,7182818...

• i:
  Conocida como la unidad imaginaria, es un número de gran importancia en álgebra y se estudia en la parte de números complejo.
  La principal propiedad de estos números es que tienen como cuadrado a un número negativo: i = √-1 à i² = -1

• π:
  es el numero madre en geometría y corresponde a la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, cuyos primeros dígitos son: 3,141592...

• 0 y 1:
  son la base de la aritmética, ya que son los elementos neutros de la adición y la multiplicación respectivamente.

Gracias a esta identidad se puede hallar el valor del número π mediante:

Leonhard Euler (1707-1783), matemático y físico suizo.

Por otra parte hay que decir, que esta identidad no es nada más que una transformación de la, también conocida, Fórmula de Euler:

Mediante un simple procedimiento se puede demostrar dicha transformación:

Se hace x = π y se resuelve cos π = -1 y sin π = 0, pasando el -1 a la izquierda, queda finalmente dicha identidad.

Es obligatorio que las funciones trigonométricas de sin y el cos estén expresadas en radianes.


Las fotos están cogidas de aquí, aquí, aquí y también aqui... ¡ah!, y la última es una modificación personal de algunas imagenes de esta web. La información está sacada de este post de "Gaussianos" y de la todopoderosa Wikipedia.